掌握數字特性法的關鍵,是掌握一些最基本的數字特性規律。(下列規律僅限自然數內討論)
?。ㄒ唬┢媾歼\算基本法則
【基礎】奇數±奇數=偶數;
偶數±偶數=偶數;
偶數±奇數=奇數;
奇數±偶數=奇數。
【推論】
1.任意兩個數的和如果是奇數,那么差也是奇數;如果和是偶數,那么差也是偶數。
2.任意兩個數的和或差是奇數,則兩數奇偶相反;和或差是偶數,則兩數奇偶相同。
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1.能被2、4、8、5、25、125整除的數的數字特性
能被2(或5)整除的數,末一位數字能被2(或5)整除;
能被4(或 25)整除的數,末兩位數字能被4(或 25)整除;
能被8(或125)整除的數,末三位數字能被8(或125)整除;
一個數被2(或5)除得的余數,就是其末一位數字被2(或5)除得的余數;
一個數被4(或 25)除得的余數,就是其末兩位數字被4(或 25)除得的余數;
一個數被8(或125)除得的余數,就是其末三位數字被8(或125)除得的余數。
2.能被3、9整除的數的數字特性
能被3(或9)整除的數,各位數字和能被3(或9)整除。
一個數被3(或9)除得的余數,就是其各位相加后被3(或9)除得的余數。
3.能被11整除的數的數字特性
能被11整除的數,奇數位的和與偶數位的和之差,能被11整除。
?。ㄈ┍稊店P系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m,n互質),則a是m的倍數;b是n的倍數。
如果x= y(m,n互質),則x是m的倍數;y是n的倍數。
如果a∶b=m∶n(m,n互質),則a±b應該是m±n的倍數。
【例22】(江蘇2006B-76)在招考公務員中,A、B兩崗位共有32個男生、18個女生報考。已知報考A崗位的男生數與女生數的比為5:3,報考B崗位的男生數與女生數的比為2:1,報考A崗位的女生數是( )。
A.15 B.16 C.12 D.10
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?。劢馕觯輬罂糀崗位的男生數與女生數的比為5:3,所以報考A崗位的女生人數是3的倍數,排除選項B和選項D;代入A,可以發現不符合題意,所以選擇C。
【例23】(上海2004-12)下列四個數都是六位數,X是比10小的自然數,Y是零,一定能同時被2、3、5整除的數是多少?( )
A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX
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?。劢馕觯菀驗檫@個六位數能被 2、5整除,所以末位為0,排除A、D;因為這個六位數能被3整除,這個六位數各位數字和是3的倍數,排除C,選擇B。
【例24】(山東2004-12)某次測驗有50道判斷題,每做對一題得3分,不做或做錯一題倒扣1分,某學生共得82分,問答對題數和答錯題數(包括不做)相差多少?( )
A.33 B.39 C.17 D.16
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?。劢馕觯荽饘Φ念}目+答錯的題目=50,是偶數,所以答對的題目與答錯的題目的差也應是偶數,但選項A、B、C都是奇數,所以選擇D。
【例25】(國2005一類-44、國2005二類-44)小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形,正好用完,后來又改圍成一個正方形,也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣,則小紅所有五分硬幣的總價值是多少元?( )
A.1元 B.2元 C.3元 D.4元
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?。劢馕觯菀驗樗械挠矌趴梢越M成三角形,所以硬幣的總數是3的倍數,所以硬幣的總價值也應該是3的倍數,結合選項,選擇C。
?。圩⒁唬?很多考生還會這樣思考:"因為所有的硬幣可以組成正方形,所以硬幣的總數是4的倍數,所以硬幣的總價值也應該是4的倍數",從而覺得答案應該選D。事實上,硬幣的總數是4的倍數,一個硬幣是五分,所以只能推出硬幣的總價值是4個五分即兩角的倍數。
?。圩⒍?本題中所指的三角形和正方形都是空心的。
【例26】(國2002A-6)1998年,甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年,甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?( )
A.34歲,12歲 B.32歲,8歲 C.36歲,12歲 D.34歲,10歲
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?。劢馕觯萦呻S著年齡的增長,年齡倍數遞減,因此甲、乙二人的年齡比在3-4之間,選擇D。
【例27】(國2002B-8)若干學生住若干房間,如果每間住4人則有20人沒地方住,如果每間住8人則有一間只有4人住,問共有多少名學生?( )。
A.30人 B.34人 C.40人 D.44人
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?。劢馕觯萦擅块g住4人,有20人沒地方住,所以總人數是4的倍數,排除A、B;由每間住8人,則有一間只有4人住,所以總人數不是8的倍數,排除C,選擇D。
【例28】(國2000-29)一塊金與銀的合金重250克,放在水中減輕16克?,F知金在水中重量減輕1/19,銀在水中重量減輕1/10,則這塊合金中金、銀各占的克數為多少克?( )
A.100克,150克 B.150克,100克
C.170克,80克 D.190克,60克
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?。劢馕觯莠F知金在水中重量減輕1/19,所以金的質量應該是19的倍數。結合選項,選擇D。
【例29】(國1999-35)師徒二人負責生產一批零件,師傅完成全部工作數量的一半還多30個,徒弟完成了師傅生產數量的一半,此時還有100個沒有完成,師徒二人已經生產多少個?( )
A.320 B.160 C.480 D.580
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?。劢馕觯萃降芡瓿闪藥煾瞪a數量的一半,因此師徒二人生產的零件總數是3的倍數。結合選項,選擇C。
【例30】(浙江2005-24)一只木箱內有白色乒乓球和黃色乒乓球若干個。小明一次取出5個黃球、3個白球,這樣操作N次后,白球拿完了,黃球還剩8個;如果換一種取法:每次取出7個黃球、3個白球,這樣操作M次后,黃球拿完了,白球還剩24個。問原木箱內共有乒乓球多少個?( )
A.246個 B.258個 C.264個 D.272個
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?。劢馕觯菝看稳〕?個黃球、3個白球,這樣操作M次后,黃球拿完了,白球還剩24個。因此乒乓球的總數=10M+24,個位數為4,選擇C。
【例34】(北京社招2005-11)兩個數的差是2345,兩數相除的商是8,求這兩個數之和?( )
A.2353 B.2896 C.3015 D.3456
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?。劢馕觯輧蓚數的差是2345,所以這兩個數的和應該是奇數,排除B、D。兩數相除得8,說明這兩個數之和應該是9的倍數,所以答案選擇C。
【例35】(北京社招2005-13)某劇院有25排座位,后一排比前一排多2個座位,最后一排有70個座位。這個劇院共有多少個座位?( )
A.1104 B.1150 C.1170 D.1280
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?。劢馕觯輨≡旱目側藬?,應該是25個相鄰偶數的和,必然為25的倍數,結合選項選擇B。
【例36】(北京社招2005-17)一架飛機所帶的燃料最多可以用6小時,飛機去時順風,速度為1500千米/時,回來時逆風,速度為1200千米/時,這架飛機最多飛出多少千米,就需往回飛?( )
A.2000 B.3000 C.4000 D.4500
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?。劢馕觯菽骘L飛行的時間比順風飛行的時間長,逆風飛行超過3小時,順風不足3小時。飛機最遠飛行距離少于1500×3=4500千米;飛機最遠飛行距離大于1200×3=3600千米。結合選項,選擇C。
【例37】(北京社招2005-20)紅星小學組織學生排成隊步行去郊游,每分鐘步行60米,隊尾的王老師以每分鐘步行150米的速度趕到排頭,然后立即返回隊尾,共用10分鐘。求隊伍的長度?( )
A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米
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?。劢馕觯萃趵蠋煆年犖糙s到隊頭的相對速度為150+60=210米/分;
王老師從隊頭趕到隊尾的相對速度為150-60=90米/分。
因此一般情況下,隊伍的長度是210和90的倍數,結合選項,選擇A。